Регестрация — регистрация
Можно проверить словом «регистр», которое обозначает книгу, в которую записывают какие-либо факты с целью сохранения памяти о них. Происходит их фиксация, т. е. регистрация. Запомните: запись в регистр называют регистрацией. Регестрация — регистрация
Приставка НИ встречается только в местоимениях. «Неадекватный» — прилагательное, поэтому пишется НЕ. Также слово «адекватный» не имеет ничего общего ни с одеждой, ни с одеколоном, поэтому пишите его через А.
Попасть впросак — устойчивое выражение, означающее «попасть в неловкое положение». Наречие «впросак» пишется слитно. А просак — станок для плетения верёвок и канатов. И бедолага, попавший впросак из-за своей неуклюжести, не имеет к нему никакого отношения. 
Даже когда вам очень грустно, не стоит терять букву Т. Особенно если её так легко найти с помощью проверочного слова «грусть».